Triangles isométriques
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Définition d'une isométrie.

 Définition : Une isométrie du plan est une transformation du plan qui conserve les distances.

Les isométries du plan déjà connues depuis le collège sont les translations, rotations, symétries centrales et axiales.

Les isométries du plan conservent les longueurs, mais aussi les aires et les angles géométriques.

Définition de deux triangles isométriques.

Définition: On dit que deux triangles sont isométriques lorsqu'ils ont leurs côtés respectifs de mêmes longueurs

Conséquence : Si on passe d'un triangle à un autre par une isométrie ou une succession d'isométries, on obtient un triangle isométrique.

Exemple :

Vous pouvez capturer I, P', R et S.

Propriété réciproque : Si deux triangles sont isométriques, on peut passer de l'un à l'autre par une isométrie ou une succession d'isométries.

Conséquence immédiate :

Propriété : Si deux triangles sont isométriques alors leurs angles respectifs sont de même mesure.

Attention : La réciproque est fausse : deux triangles ayant leurs angles respectifs de même mesure ne sont pas forcément isométriques.

Vocabulaire : Si deux triangles son isométriques, alors les sommets de ces triangles correspondant à des angles égaux sont dits homologues et les côtés de mêmes longueurs respectives sont dits côtés homologues.

Première condition pour que deux triangles isométriques.

Sur la figure ci-dessous, les triangles ABC et A'B'C' ont en commun un angle de 60° encadré par deux côtés de mêmes longueurs respectives 4 et 3. On a tracé les médiatrices des segments [AA'] et [BB'] qui se coupent en O.
On a tracé en rose le triangle image de ABC par la rotation de centre O et d'angle A.
Capturez le point P pour amener le triangle rose sur le triangle A'B'C'.

Vous constatez ainsi que les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques.

Remarque : Sur cette même figure les deux triangles ABC et A"B'C' ont aussi en commun un angle de 60° encadré par deux côtés de mêmes longueurs respectives 4 et 3. On passe de l'un à l'autre par une rotation suivie d'une symétrie axiale par rapport à la droite (EF).
On admettra que ce résultat est général : si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de mêmes longueurs alors on peut passer de l'une à l'autre par une isométrie ou une succession  d'isométries : ils sont isométriques.

Sur la figure ci-dessous, c'est par une translation qu'on passe du triangle ABC au triangle A'B'C'.

 Propriété 1 : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux cotés de mêmes longueurs respectives alors ils sont isométriques.

Remarque : La réciproque de cette propriété est vraie.

Attention : Sur la figure ci-contre, les deux triangles ABC et ABC' ont un côté commun, un autre de même longueur et un angle de même mesure, pourtant ils ne sont pas isométriques. C'est dû au fait que l'angle n'est pas compris entre les deux côtés de mêmes longueurs respectives

Deuxième condition pour que deux triangles isométriques.

Sur la figure ci-dessous, les triangles ABC et A'B'C' ont en commun un côté de longueur 5 encadré par des angles de mesures respectives 60° et 40°.

On a tracé les médiatrices des segments [AA'] et [BB'] qui se coupent en O.
On a tracé en rose le triangle image de ABC par la rotation de centre O et d'angle A.
Capturez le point P pour amener le triangle rose sur le triangle A'B'C'.

Vous constatez ainsi que les triangles ABC et A'B'C' sont isométriques.

Remarque : Sur cette même figure les deux triangles ABC et A"B'C' ont aussi en commun côté de longueur 5  encadré par deux angles de mêmes mesures respectives 60° et 40°. On passe de l'un à l'autre par une rotation suivie d'une symétrie axiale par rapport à la droite (EF).
On admettra que ce résultat est général : si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement de mêmes mesures alors on peut passer de l'une à l'autre par une isométrie ou une succession  d'isométries; ils sont isométriques.

 Propriété 2 : Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de mêmes mesures respectives alors ils sont isométriques.

Remarque : La réciproque de cette propriété est vraie.

Attention : Sur la figure ci-contre, les deux triangles ABC et AB'C' ont un côté de même longueur et deux angles de mêmes mesures respectives, pourtant ils ne sont pas isométriques. C'est dû au fait que le côté de longueur commune n'est pas compris entre les deux angles de mêmes mesures respectives.

Remarque : leurs trois angles respectifs sont égaux : ce sont des triangles semblables (voir le cours correspondant).

 

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